(2009北京理)(本小題共14分)
已知雙曲線的離心率為
,右準(zhǔn)線方程為
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線是圓
上動(dòng)點(diǎn)
處的切線,
與雙曲線
交
于不同的兩點(diǎn),證明
的大小為定值.
【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程
的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運(yùn)算能力.
(Ⅰ)由題意,得,解得
,
∴,∴所求雙曲線
的方程為
.
(Ⅱ)點(diǎn)在圓
上,
圓在點(diǎn)處的切線方程為
,
化簡得.
由及
得
,
∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且
,
∴,且
,
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
則,
∵,且
,
.
∴ 的大小為
.
【解法2】(Ⅰ)同解法1.
(Ⅱ)點(diǎn)在圓
上,
圓在點(diǎn)處的切線方程為
,
化簡得.由
及
得
①
②
∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且
,
∴,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
,
則,
∴,∴
的大小為
.
(∵且
,∴
,從而當(dāng)
時(shí),方程①和方程②的判別式均大于零).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009北京理)(本小題共14分)
已知雙曲線的離心率為
,右準(zhǔn)線方程為
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線是圓
上動(dòng)點(diǎn)
處的切線,
與雙曲線
交
于不同的兩點(diǎn),證明
的大小為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(2009北京理)設(shè)是偶函數(shù),若曲線
在點(diǎn)
處的切線的斜率為1,則該曲線在
處的切線的斜率為_________.
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(2009北京理)(本小題共14分)
已知雙曲線的離心率為
,右準(zhǔn)線方程為
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線是圓
上動(dòng)點(diǎn)
處的切線,
與雙曲線
交
于不同的兩點(diǎn),證明
的大小為定值.
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