分析 (1)根據(jù)橢圓的離心率,S1的面積列方程組,解出a,b即可得出橢圓方程;
(2)設(shè)P(2√2cosα,2sinα),分別求出直線方程,得出M,N的坐標(biāo),用α表示出S1,S2,從而得到λ關(guān)于α的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷此函數(shù)的單調(diào)性,得出λ的最小值及其對應(yīng)的α,從而得出P點(diǎn)坐標(biāo).
解答 解:(1)雙曲線的離心率為√2,∴橢圓的離心率為√22,
∴{ab=4√2ca=√22a2−2=c2,解得a=2√2,b=2,
∴橢圓方程為x28+y24=1.
(2)設(shè)P(2√2cosα,2sinα)(0≤α<2π且α≠π2,α≠3π2),B1(0,2),B(0,-2),
則直線B1P的方程為y=sinα−1√2cosαx+2,直線B2P的方程為y=sinα+1√2cosαx-2,
∴M(2√2cosαsinα−1,4),N(6√2cosαsinα+1,4),
|MN|=|6√2cosαsinα+1-2√2cosαsinα−1|=|2√2(4−2sinα)cosα|,
∴S2=12×|MN|×(4-2sinα)=4√2(2−sinα)2|cosα|,又S1=12×2b×|2√2cosα|=4√2|cosα|,
∴λ=S2S1=(2−sinα)2cos2α=(2−sinαcosα)2,
令f(α)=2−sinαcosα,則f′(α)=2sinα−1cos2α,
令f′(α)=0得α=π6或α=5π6,
當(dāng)0<α<π6時(shí),f′(α)<0,當(dāng)π6<α<π2時(shí),f′(α)>0,當(dāng)π2<α<5π6時(shí),f′(α)>0,
當(dāng)5π6<α<3π2時(shí),f′(α)<0,當(dāng)3π2<α<2π時(shí),f′(α)<0,
∴f(α)在[0,π6]上單調(diào)遞減,在(π6,π2)上單調(diào)遞增,在(π2,5π6]上單調(diào)遞增,在(5π6,3π2)上單調(diào)遞減,在(3π2,2π)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)α=π6時(shí),f(α)取得極小值f(π6)=2−12√32=√3,當(dāng)α=5π6時(shí),f(α)取得極大值f(5π6)=2−12−√32=-√3,
∴當(dāng)α=π6或5π6時(shí),|f(α)|取得最小值√3,
∴λ=f2(α)的最小值為√3.
∴當(dāng)λ取得最小值時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(√6,1)或(-√6,1).
點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x212−y224=1 | B. | y212−x224=1 | C. | y224−x212=1 | D. | x224−y212=1 |
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A. | 8√3 | B. | 8+8√3 | C. | 6√2+2√3 | D. | 8+6√2+2√3 |
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A. | 8√3 | B. | 4√3 | C. | 8√3+2 | D. | 4√3+2 |
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A. | 1325 | B. | 1225 | C. | 1320 | D. | 35 |
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