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8.已知橢圓Γ:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2-y2=a2的離心率之和為322,B1、B2為橢圓Γ短軸的兩個(gè)端點(diǎn),P是橢圓Γ上一動(dòng)點(diǎn)(不與B1、B2重合),直線B1P、B2P分別交直線l:y=4于M、N兩點(diǎn),△B1B2P的面積記為S1,△PMN的面積記為S2,且S1的最大值為42
(1)求橢圓Γ的方程;
(2)若S2=λS1,當(dāng)λ取最小值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 (1)根據(jù)橢圓的離心率,S1的面積列方程組,解出a,b即可得出橢圓方程;
(2)設(shè)P(22cosα,2sinα),分別求出直線方程,得出M,N的坐標(biāo),用α表示出S1,S2,從而得到λ關(guān)于α的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷此函數(shù)的單調(diào)性,得出λ的最小值及其對應(yīng)的α,從而得出P點(diǎn)坐標(biāo).

解答 解:(1)雙曲線的離心率為2,∴橢圓的離心率為22,
{ab=42ca=22a22=c2,解得a=22,b=2,
∴橢圓方程為x28+y24=1
(2)設(shè)P(22cosα,2sinα)(0≤α<2π且απ2,α≠3π2),B1(0,2),B(0,-2),
則直線B1P的方程為y=sinα12cosαx+2,直線B2P的方程為y=sinα+12cosαx-2,
∴M(22cosαsinα1,4),N(62cosαsinα+1,4),
|MN|=|62cosαsinα+1-22cosαsinα1|=|2242sinαcosα|,
∴S2=12×|MN|×(4-2sinα)=422sinα2|cosα|,又S1=12×2b×|22cosα|=42|cosα|,
∴λ=S2S1=2sinα2cos2α=(2sinαcosα2
令f(α)=2sinαcosα,則f′(α)=2sinα1cos2α
令f′(α)=0得α=π6或α=5π6,
當(dāng)0απ6時(shí),f′(α)<0,當(dāng)π6απ2時(shí),f′(α)>0,當(dāng)π2α5π6時(shí),f′(α)>0,
當(dāng)5π6α3π2時(shí),f′(α)<0,當(dāng)3π2α2π時(shí),f′(α)<0,
∴f(α)在[0,π6]上單調(diào)遞減,在(π6,π2)上單調(diào)遞增,在(π25π6]上單調(diào)遞增,在(5π63π2)上單調(diào)遞減,在(3π2,2π)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)α=π6時(shí),f(α)取得極小值f(π6)=21232=3,當(dāng)α=5π6時(shí),f(α)取得極大值f(5π6)=21232=-3,
∴當(dāng)α=π65π6時(shí),|f(α)|取得最小值3
∴λ=f2(α)的最小值為3
∴當(dāng)λ取得最小值時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(6,1)或(-6,1).

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.

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