Question

8．已知橢圓Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x²-y²=a²的離心率之和為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，B₁、B₂為橢圓Γ短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，P是橢圓Γ上一動(dòng)點(diǎn)（不與B₁、B₂重合），直線B₁P、B₂P分別交直線l：y=4于M、N兩點(diǎn)，△B₁B₂P的面積記為S₁，△PMN的面積記為S₂，且S₁的最大值為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）若S₂=λS₁，當(dāng)λ取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率，S₁的面積列方程組，解出a，b即可得出橢圓方程；
（2）設(shè)P（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα），分別求出直線方程，得出M，N的坐標(biāo)，用α表示出S₁，S₂，從而得到λ關(guān)于α的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷此函數(shù)的單調(diào)性，得出λ的最小值及其對(duì)應(yīng)的α，從而得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，∴橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=4\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}-^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）設(shè)P（2$\sqrt{2}$cosα，2sinα）（0≤α＜2π且α$≠\frac{π}{2}$，α≠$\frac{3π}{2}$），B₁（0，2），B（0，-2），
則直線B₁P的方程為y=$\frac{sinα-1}{\sqrt{2}cosα}$x+2，直線B₂P的方程為y=$\frac{sinα+1}{\sqrt{2}cosα}$x-2，
∴M（$\frac{2\sqrt{2}cosα}{sinα-1}$，4），N（$\frac{6\sqrt{2}cosα}{sinα+1}$，4），
|MN|=|$\frac{6\sqrt{2}cosα}{sinα+1}$-$\frac{2\sqrt{2}cosα}{sinα-1}$|=|$\frac{2\sqrt{2}（4-2sinα）}{cosα}$|，
∴S₂=$\frac{1}{2}$×|MN|×（4-2sinα）=$\frac{4\sqrt{2}（2-sinα）^{2}}{|cosα|}$，又S₁=$\frac{1}{2}×2b×|2\sqrt{2}cosα|$=4$\sqrt{2}$|cosα|，
∴λ=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{（2-sinα）^{2}}{co{s}^{2}α}$=（$\frac{2-sinα}{cosα}$）²，
令f（α）=$\frac{2-sinα}{cosα}$，則f′（α）=$\frac{2sinα-1}{co{s}^{2}α}$，
令f′（α）=0得α=$\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$，
當(dāng)0$＜α＜\frac{π}{6}$時(shí)，f′（α）＜0，當(dāng)$\frac{π}{6}$$＜α＜\frac{π}{2}$時(shí)，f′（α）＞0，當(dāng)$\frac{π}{2}＜α＜\frac{5π}{6}$時(shí)，f′（α）＞0，
當(dāng)$\frac{5π}{6}＜α＜\frac{3π}{2}$時(shí)，f′（α）＜0，當(dāng)$\frac{3π}{2}＜α＜2π$時(shí)，f′（α）＜0，
∴f（α）在[0，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞減，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]上單調(diào)遞增，在（$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{3π}{2}$，2π）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)$α=\frac{π}{6}$時(shí)，f（α）取得極小值f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{2-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{3}$，當(dāng)α=$\frac{5π}{6}$時(shí)，f（α）取得極大值f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{2-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\sqrt{3}$，
∴當(dāng)α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$時(shí)，|f（α）|取得最小值$\sqrt{3}$，
∴λ=f²（α）的最小值為$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)λ取得最小值時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$，1）或（-$\sqrt{6}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．