Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，拋物線的焦點為，設(shè)為拋物線上異于頂點的動點，直線交拋物線于另一點，連結(jié)，，并延長，分別交拋物線與點，.

（1）當(dāng)軸時，求直線與軸的交點的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，試探索是否為定值？若是，求出此定值；若不是，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（4，0）；（2）是定值，

【解析】

（1）由拋物線方程求出焦點坐標(biāo)，得到直線MN的方程，代入拋物線方程求出M、N的坐標(biāo)，由兩點式求得直線ME的方程，和拋物線方程聯(lián)立解得P點坐標(biāo)，同理求得Q點坐標(biāo)，則直線PQ的方程可求，直線PQ與x軸的交點坐標(biāo)可求；

（2）分別設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），再設(shè)直線MN、MP、NQ的直線方程，分別和拋物線方程聯(lián)立后由根與系數(shù)關(guān)系得到y3＝2y2，x3＝4x2，y4＝2y1，x4＝4x1．代入斜率公式整理得答案．

（1）拋物線C：y2＝4x的焦點F（1，0）．

當(dāng)MN⊥Ox時，直線MN的方程為 x＝1．

將x＝1代入拋物線方程y2＝4x，得y＝±2．

不妨設(shè)M（1，2），N（﹣1，2），

則直線ME的方程為y＝﹣2x+4，

由，解得x＝1或x＝4，于是得P（4，﹣4）．

同理得Q（4，4），所以直線PQ的方程為x＝4．

故直線PQ與x軸的交點坐標(biāo)（4，0）；

（2）設(shè)直線MN的方程為x＝my+1，

并設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．

由，得y2﹣4my﹣4＝0，

于是y1y2＝﹣4 ①，從而②．

設(shè)直線MP的方程為x＝my+2，

由，得y2﹣4my﹣8＝0，

∴y1y3＝﹣8 ③，x1x3＝4 ④．

設(shè)直線NQ的方程為x＝ty+2，

由，得y2﹣4ty﹣8＝0，

于是y2y4＝﹣8 ⑤，x2x4＝4 ⑥．

由①②③④⑤⑥，得y3＝2y2，x3＝4x2，y4＝2y1，

x4＝4x1．，

即．