Question

設C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于點F₁，焦點為F₂；橢圓C₂以F₁，F₂為焦點，離心率e=

1

2

．設P是C₁，C₂的一個交點．
（1）當m=1時，求橢圓C₂的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過C₂的右焦點F₂，與C₁交于A₁，A₂兩點，且|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長，求l的方程；
（3）求所有正實數m，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)正整數．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）m=1時，F₂（1，0），由此能求出橢圓方程3x²+4y²=12．
（2）l：y=k（x-1），聯(lián)立消元得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由此利用弦長公式能求出直線的斜率，問題得以解決．
（3）設橢圓長半軸為a，半焦距為c，由題設有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m，設P（x₀，y₀），對于拋物線C₁，r₂=x₀+m．由此能推導出使得三角形PF₁F₂的邊長是連續(xù)正整數的m的值．

解答： 解．（1）∵y²=4mx（m＞0），
∴m=1時，F₂（1，0），
∵c=1，e=

1

2

，
∴a=2，b²=a²-c²=3，
故橢圓C₂的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
即3x²+4y²=12．
（2）依題意知直線l存在斜率，設l：y=k（x-1），聯(lián)立

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∵直線l與拋物線C₁有兩個交點，∴k≠0，
設A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），弦A₁A₂的中點M（x，y），
由韋達定理得x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁•x₂=1，
則|A₁A₂|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4(1+k2)

k2

三角形PF₁F₂的周長=2a+2c=6，
∴

4(1+k2)

k2

=6，
解得k=±

2

，
∴y=

2

x-

2

）或y=-

2

x+

2

，
（3）設橢圓長半軸為a，半焦距為c，由題設有c=m，a=2m，|F₁F₂|=2m．
又設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，有r₁+r₂=2a=4m
設P（x₀，y₀），對于拋物線C₁，r₂=x₀+m；
對于橢圓C₂，

r2

a2 c -x0

=e=

1

2

，
即r₂=

1

2

（4m-x₀），
∴x₀+m=

1

2

（4m-x₀），
解得x₀=

2

3

m，
∴r₂=

5

3

m，從而 r₁=

7

3

m，
因此，三角形PF₁F₂的邊長分別是

5

3

m，

6

3

m，

7

3

m，
當m=3時，邊長為5，6，7符合題意，
當m=3的倍數，均不適合．
故正實數m=3，使得△PF₁F₂的邊長是連續(xù)正整數．

點評：本題考查直線斜率的求法，考查使得三角形周長是連續(xù)正整數的求法．解題時要認真審題，注意橢圓、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用，屬于難題．