Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-2）=-f（x），當-1≤x≤1時，f（x）=x³，則下列四個命題：
①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
②當x∈[1，3]時，f（x）=（2-x）³；
③f（2011）=1；
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x-2）=-f（x）對一切x∈R恒成立即可判斷①的正誤；利用①f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，當-1≤x≤1時，f（x）=x³即可求得f（x）在[1，3]上的解析式，從而可判斷其正誤；f（2011）=f（503×4-1）=f（-1）=-1，由此能判斷③的正誤；由f（1+x）=f（1-x）與f（-1+x）=f（-1-x）即可判斷④的正誤．

解答： 解：對于①，∵f（x-2）=-f（x）對一切x∈R恒成立，
∴f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即f（x-4）=f（x）
以-x代x得：f（-x-4）=f（-x），
又函數(shù)y=f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴-f（x+4）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，故①正確；
對于②，令1≤x≤3，則-1≤2-x≤1，故-1≤x-2≤1，
∵-1≤x≤1時，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³；
∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=（x-2）³，
∴f（x）=（2-x）³，故②正確；
對于③，f（2011）=f（503×4-1）=f（-1）=-1，故③錯誤．
對于④，∵f（2-x）=f（x），
∴f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]，
∴f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，
故④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的周期性及函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，綜合性強，屬于中檔題．