Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D為AB的中點(diǎn)，且CD⊥DA₁．
（1）求證：BB₁⊥平面ABC；
（2）求多面體DBC-A₁B₁C₁的體積；
（3）求二面角C-DA₁-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證BB₁⊥平面ABC，必須證明BB₁⊥平面ABC內(nèi)的兩條相交直線，AB、CD即可，可用幾何法證明．
（2）多面體DBC-A₁B₁C₁是不規(guī)則幾何體，其體積不易直接求．將其轉(zhuǎn)化為三棱柱ABC-A₁B₁C₁與三棱錐A₁-ADC體積之差．
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出CDA₁ 與DA₁C₁的法向量，，利用二面角C-DA₁-C₁的平面角與的夾角相等或互補(bǔ)的關(guān)系去解決．
解答：解：（1）證明：
∵AC=PC，D為AB的中點(diǎn)．∴CD⊥AB
又∵CD⊥DA，∴CD⊥平面ABB₁A₁∴CD⊥BB₁
又BB₁⊥AB，AB∩CD=D
∴BB₁⊥面ABC．
（2）V_{多面體DBC-A1B1C1=}V_{棱柱ABC-A1B1C1}-V棱錐_A1-ABC
=S_△ABC•AA₁-S_△ADC•AA1
=S_△ABC•AA₁-S_△ABC•AA_{1
=S△ABC•AA1
=}
（3）以 C為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
則C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，0，2），C₁（0，2，0），A₁（0，2，2）∴D（1，0，1）
設(shè)是面CDA₁的一個法向量，
則由得
可取=（1，1，-1）
同理設(shè)是面DA₁C₁的一個法向量，
且=（1，-2，1）=（0，0，2）
則由
 
得
取
∴cos＜＞===
二面角C-DA₁-C₁為銳二面角，所以其平面角的余弦值為．
點(diǎn)評：本題考查直線和平面位置關(guān)系及其判定，空間幾何體體積的計(jì)算，二面角求解，考查轉(zhuǎn)化的思想方法（間接法求體積，線線垂直轉(zhuǎn)化為向量垂直）空間想象能力，計(jì)算能力．利用空間向量的知識，則使問題論證變成了代數(shù)運(yùn)算，使人們解決問題更加方便．