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3.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:x-y=1,在以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C:ρ22sin2θ-2=0,直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)求△OPQ的面積.

分析 (1)把極坐標(biāo)方程根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,化為直角坐標(biāo)方程.
(2)解方程組求得P、Q的坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)O到直線PQ的距離d,可得△OPQ的面積為S=12•PQ•d的值.

解答 解:(1)曲線C:ρ22sin2θ-2=0化為直角坐標(biāo)方程為x2+2y2-2=0,即x22+y2=1,表示一個(gè)橢圓.
(2)由{xy=1x22+y2=1 求得{x=0y=1,或{x=43y=13,故可設(shè)P(0,-1)、Q(4313),
故點(diǎn)O到直線PQ:x-y-1=0的距離為d=|001|2=22,
△OPQ的面積為S=12•PQ•d=1242322=23

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法,點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

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