Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

2

-alnx（a＞1）．
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）討論f）x）在區(qū)間（1，e）上的極值點．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求得a=2時的函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域；
（Ⅱ）求出導數(shù)，并分解因式，討論①當

a

≥e，即a≥e²時，②當

a

＜e，即1＜a＜e²時，求出單調區(qū)間，并求得極值．

解答： 解：（Ⅰ）a=2時，f(x)=

x2

2

-2lnx，（x＞0）
f′(x)=x-

2

x

=

x2-2

x

=

(x+ 2 )(x- 2 )

x

，
令f′（x）＞0得，x＞

2

，令f′（x）＜0得，0＜x＜

2

，
則f（x）的單調遞減區(qū)間為(0，

2

)，單調遞增區(qū)間為(

2

，+∞)；    
（Ⅱ）f(x)=

x2

2

-alnx，導數(shù)f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x+ a )(x- a )

x

，
①當

a

≥e，即a≥e²時，
f（x）在區(qū)間（1，e）上單調遞減，f（x）無極值點．
②當

a

＜e，即1＜a＜e²時，
f（x）在區(qū)間(1，

a

)上單調遞減，在區(qū)間(

a

，e)單調遞增，
則f（x）的極小值點為x=

a

，無極大值點．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和求極值，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．