Question

雙曲線C₁：（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，拋物線C₂：x2=-2py（p＞0）的焦點為F，C₁與C₂的一個交點為A，知A在x軸上的射影為F₁，且A、F、F₂三點共線，則雙曲線C₁的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：先求出F₁、F₂，F(xiàn)點的坐標，根據(jù)A在x軸上的射影為F₁以及A在拋物線上求出A的坐標；再根據(jù)A、F、F₂三點共線，求出c=p；再結(jié)合A在雙曲線上以及a²+b²=c²即可求出雙曲線C₁的離心率．
解答：解：由題可設(shè)：F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），F(xiàn)（0，-）．
∵A在x軸上的射影為F₁，
∴A的橫坐標為-c，代入拋物線方程得A（-c，-）．
∵A、F、F₂三點共線，
∴⇒⇒c=p   ①．
因為A在雙曲線上，所以：     ②
又∵a²+b²=c²  ③
聯(lián)立 ①②③解得：c=a．
∴e==．
故答案為：．
點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關(guān)鍵點在于利用A在x軸上的射影為F₁以及A在拋物線上求出A的坐標；再根據(jù)A、F、F₂三點共線，求出c=p．