Question

12．設a＞1，b＞0，若a+b=2，則$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 6
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質即可得出．，

解答 解：∵a+b=2，
∴a-1+b=1，
∴$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$）•（a-1+b）=1+2+$\frac{a-1}$+$\frac{2（a-1）}$=3+2$\sqrt{\frac{a-1}•\frac{2（a-1）}}$=3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當a=$\sqrt{2}$，b=2-$\sqrt{2}$時取等號，
故a+b=2，則$\frac{1}{a-1}$+$\frac{2}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題考查基本不等式求最值，“1”的整體代換是解決問題的關鍵，屬基礎題．