(2007•奉賢區(qū)一模)已知:函數(shù)f(x)=x2+4x+3 (x∈R),g(x)與f(x)圖象關(guān)于直線x=1對稱.
(1)求g(x);
(2)如果關(guān)于x的不等式 g(x)≥g(a)-4的解集為全體實數(shù),求a的最大值.
分析:(1)設(shè)P(x,y)為y=g(x)上任一點,由已知中g(shù)(x)與f(x)圖象關(guān)于直線x=1對稱,可得P(x,y)關(guān)于x=1的對稱點P′(2-x,y)在y=f(x)的圖象上,滿足y=f(x)的解析式,代入整理即可得到函數(shù)g(x)的解析式
(2)解法一:由(1)中結(jié)論,我們g(x)的最小值為-1,故可由g(x)≥g(a)-4的解集為全體實數(shù),構(gòu)造出一個關(guān)于a的不等式g(a)-4≤-1,解不等式即可得到答案;
解法二:由關(guān)于x的不等式 g(x)≥g(a)-4的解集為全體實數(shù),根據(jù)二次不等式恒成立的充要條件,我們可以構(gòu)造一個關(guān)于a的不等式,解不等式即可得a的最大值.
解答:解:(1)設(shè)P(x,y)為y=g(x)上任一點,(1分)
∵y=g(x)與y=f(x)關(guān)于x=1對稱,
∴P(x,y)關(guān)于x=1的對稱點P′(2-x,y)在y=f(x)的圖象上,(3分)
∵f(x)=x2+4x+3
∴y=(2-x)2+(2-x)+3=x2-8x+15
即g(x)=x2-8x+15(2分)
(2)解法一:由關(guān)于x的不等式 g(x)≥g(a)-4的解集為全體實數(shù),
又因為g(x)的最小值為-1(2分)
即:g(a)-4≤-1(3分)
a2-8a+15-4≤-1
a2-8a+12≤0
2≤a≤6(2分)
a的最大值6(1分)
解法二:由g(x)≥g(a)-4
得:x2-8x+15≥a2-8a+15-4(1分)
x2-8x-(a2-8a-4)≥0(1分)
因為不等式的解集為全體實數(shù)
即:△=64-4(a2-8a-4)≤0(3分)
a2-8a+12≤0(1分)
2≤a≤6(1分)
a的最大值6(1分)
點評:本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)恒成立問題,其中(1)中坐標(biāo)法,求曲線的軌跡方程時,最常用的方法,一定要熟練掌握.
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x
ax+b
(a,b∈R,ab≠0)
f(2)=
2
3
,f(x)=x
有唯一的根.
(1)求a,b的值;
(2)數(shù)列{an}對n≥2,n∈N總有an=f(an-1),a1=1;求出數(shù)列{an}的通項公式.
(3)是否存在這樣的數(shù)列{bn}滿足:{bn}為{an}的子數(shù)列(即{bn}中的每一項都是{an}的項)且{bn}為無窮等比數(shù)列,它的各項和為
1
2
.若存在,找出所有符合條件的數(shù)列{bn},寫出它的通項公式,并說明理由;若不存在,也需說明理由.

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5
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5
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