Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2a}$x²-lnx，其中a為大于0的常數(shù)
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2，通過(guò)討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關(guān)于函數(shù)最小值的解析式，求出a的值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=\frac{x^2}{2}-lnx$，即$f'（x）=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-1}}{x}$∵x＞0，令f'（x）=0，得x=1．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）變化狀態(tài)如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值$\frac{1}{2}$	↗

故f（x）的單增區(qū)間為（1，+∞），單減區(qū)間為（0，1），f（x）的極小值為$\frac{1}{2}$，無(wú)極大值；
（2）由不等式f（x）＞2恒成立得，即f（x）_min＞2
易知$f'（x）=\frac{x}{a}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{ax}$，
∵a＞0，x＞0，∴令f'（x）＞0得$x＞\sqrt{a}$；
∴令f'（x）＜0得$0＜x＜\sqrt{a}$；
故f（x）的單減區(qū)間為$（{0，\sqrt{a}}）$，單增區(qū)間為$（{\sqrt{a}，+∞}）$
又x∈[1，2]，①當(dāng)$\sqrt{a}≥2$，即a≥4時(shí)，x∈[1，2]單減，
$f{（x）_{min}}=f（2）=\frac{2}{a}-ln2＞2$即$a＜\frac{2}{2+ln2}$舍
②當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{a}＞1\\ \sqrt{a}＜2\end{array}\right.$，即1＜a＜4時(shí)$x∈[{1，\sqrt{a}}]$單減，
$x∈[{\sqrt{a}，+∞}）$單增$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}-ln\sqrt{a}＞2$，即lna＜-3，∵lna＞0，故舍去．
③當(dāng)$\sqrt{a}≤1$，即0＜a≤1時(shí)，x∈[1，2]單增，$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{1}{2a}＞2$即$0＜a＜\frac{1}{4}$，適合
綜上：$0＜a＜\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，是一道中檔題．