Question

如圖，已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都為a，D為CC₁的中點(diǎn)．

(1)求證：A₁B⊥平面AB₁D．

(2)求平面A₁BD與平面ABC所成二面角的度數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵正三棱柱的各棱長(zhǎng)都相等， 　　∴側(cè)面ABB1A1是正方形． 　　∴A1B⊥AB1．連DE， 　　∵ΔBCD≌ΔA1C1D， 　　∴BD＝A1D，而E為A1B的中點(diǎn)， 　　A1B⊥DE．∴A1B⊥平面AB1D． 　　(2)延長(zhǎng)A1D與AC的延長(zhǎng)線交于S，連BS，則BS為平面A1BD和平面ABC所成二面角的公共棱． 　　∵DC∥A1A，且D為CC1的中點(diǎn)，∴AC＝CS． 　　又AB＝BC＝CA＝CS，∴∠ABS＝90°．又AB是A1B在底面上的射影，由三垂線定理得A1B⊥BS． 　　∴∠A1BA就是二面角A1－BS－A的平面角． 　　∵∠A1BA＝45°， 　　∴平面A1BD和平面ABC所成的二面角為45°． 　　解析：這雖是一個(gè)棱柱，但所要論證的線面關(guān)系以及二面角的度數(shù)，都還是要利用直線和平面中的有關(guān)知識(shí)． 　　評(píng)注：本題(2)的關(guān)鍵是根據(jù)公理二求平面A1BD和平面ABC的交線，在論證AB⊥BS時(shí)，用到了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理的逆定理．當(dāng)然(2)還可以用S射＝S·cos來(lái)解．