Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

ax²-bx-lnx，其中a，b∈R．
（1）當a=3，b=-1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當a＞0，且a為常數(shù)時，若函數(shù)h（x）=x[f（x）+lnx]對任意的x₁＞x₂≥4，總有

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1成立，試用a表示出b的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值，（2）通過討論a的范圍，從而求出b的范圍．

解答： 解：（1）當a=3，b=-1時，
f（x）=x²+x-lnx，x∈（0，+∞），
∴f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x

，
∵x＞0，∴0＜x＜

1

2

時f'（x）＜0，x＞

1

2

時，f'（x）＞0
即f（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞減，在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增
∴f（x）在x=

1

2

處取得最小值
即f（x）_min=f（

1

2

）=

3

4

+ln2，
（2）由題意，對任意的x₁＞x₂≥4，
總有

[h(x1)+x1]-[h(x2)+x2]

x1-x2

＞0成立
令P（x）=h（x）+x=

1

3

ax³-bx²+x，x∈[4，+∞），
則函數(shù)p（x）在x∈[4，+∞）上單調(diào)遞增
∴P′（x）=ax²-2bx+1≥0在x∈[4，+∞）上恒成立
∴2b≤

ax2+1

x

=ax+

1

x

在x∈[4，+∞）上恒成立
構(gòu)造函數(shù)F（x）=ax+

1

x

（a＞0），x∈（0，+∞），
則F′（x）=

ax2-1

x2

，
∴F（x）在（0，

a

a

）遞減，在（

a

a

，+∞）遞增，
①當

a

a

＞4，即0＜a＜

1

16

時，
F（x）在[4，

a

a

）遞減，在（

a

a

，+∞）遞增，
∴F（x）_min=F（

a

a

）=2

a

，
∴2b≤F（x）_min，從而b∈（-∞，

a

]；
②當

a

a

≤4，即a≥

1

16

時，F(xiàn)（x）在[4，+∞）遞增，
2b≤F（4）=4a+

1

4

，從而b∈（-∞，2a+

1

8

]，
綜上，當0＜a＜

1

16

時，b∈（-∞，

a

]，a≥

1

16

時，b∈（-∞，2a+

1

8

]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想，是一道中檔題．