Question

20．若關(guān)于x的不等式a≤$\frac{3}{4}$x²-3x+4≤b的解集恰好為[a，b]，那么b-a=4．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4的圖象，可知f（x）_min=1；分類討論：a＞1時(shí)，不等式a≤$\frac{3}{4}$x²-3x+4≤b的解集分為兩段區(qū)域，不符合題意；
有a≤1＜b，再利用f（a）=f（b）=b，解得a，b的值．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4=$\frac{3}{4}$（x-2）²+1的圖象，
可得f（x）_min=f（2）=1，
由圖象可知：若a＞1，則不等式a≤$\frac{3}{4}$x²-3x+4≤b的解集分兩段區(qū)域，不符合已知條件，
因此a≤1，此時(shí)a≤x²-3x+4恒成立；
又∵不等式a≤$\frac{3}{4}$x²-3x+4≤b的解集為[a，b]，
∴a≤1＜b，f（a）=f（b）=b，可得$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{3}{4}a}^{2}-3a+4=b}\\{{\frac{3}{4}b}^{2}-3b+4=b}\end{array}\right.$，
由$\frac{3}{4}$b²-3b+4=b，化為3b²-16b+16=0，解得b=$\frac{4}{3}$或b=4；
當(dāng)b=$\frac{4}{3}$時(shí)，由$\frac{3}{4}$a²-3a+4-$\frac{4}{3}$=0，解得a=$\frac{4}{3}$或a=$\frac{8}{3}$，不符合題意，舍去；
∴b=4，此時(shí)a=0；
∴b-a=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論思想與推理計(jì)算能力，是較難的題目．