Question

（本小題滿分15分）

已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點為F(－1，0)，

(1) 設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點，若，求直線L的方程；

(2)橢圓C上是否存在三點P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝？

 

Answer 1

(1) 和； (2) 橢圓上不存在滿足條件的三點

【解析】

試題分析：(1) 由已知 可解得 ，即橢圓方程為 �？傻� 。根據點斜式可得直線即直線方程為，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去整理為關于的一元二次方程，可得根與系數(shù)的關系。再根據可求得的值，即可得所求直線方程。 (2)根據兩點確定一條直線可設兩點確定的直線為 l，注意討論直線的斜率存在與否，用弦長公式可得的長，用點到線的距離公式可得點到線的距離，從而可得三角形面積。同理可得另兩個三角形面積，聯(lián)立方程可得三點橫縱坐標的平方，根據三點坐標判斷能否與點構成三角形，若能說明存在滿足要求的三點否則說明不存在。

試題解析：(1)由題意：橢圓的方程為.

設點，由得直線的方程為．

由方程組消去，整理得，

可得，.

因為，

所以

由已知得，解得.

故所求直線的方程為：和

(2) 假設存在滿足.

不妨設兩點確定的直線為 l，

(ⅰ)當直線l的斜率不存在時， 兩點關于軸對稱，

所以，

因為在橢圓上，所以.①

又因為，所以|，②

由①、②得，

此時，.

(ⅱ)當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，

由題意知，將其代入得

，

其中，

即，(★)

又，

所以.

因為點到直線l的距離為，

所以.

又，

整理得 ，且符合(★)式．

此時，

.

綜上所述，，結論成立．

同理可得：，

解得；.

因此只能從中選取，只能從中選取．

因此只能在這四點中選取三個不同點，

而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，

與矛盾，

所以橢圓上不存在滿足條件的三點

考點：1橢圓方程；2向量數(shù)量積公式；3直線和圓錐曲線的位置關系問題；4三角形面積問題。