Question

已知函數f（x）=

e-x-2(x≤0) 2ax-1(x＞0)

（a是常數且a＞0）．給出下列命題：
①函數f（x）的最小值是-1；
②函數f（x）在R上是單調函數；
③函數f（x）在（-∞，0）的零點是（ln

1

2

，0）；
④若f（x）＞0，在[

1

2

，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是（1，+∞）；
⑤對任意的x₁，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
其中正確命題的序號是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：畫出函數f（x）=

e-x-2(x≤0) 2ax-1(x＞0)

（a是常數且a＞0）的圖象：
①由圖只需說明在點x=0處函數f（x）的最小值是-1；
②只需說明函數f（x）在R上的單調性即可；
③函數f（x）在（-∞，0）的零點是ln

1

2

，
④只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，則當x=

1

2

時，函數取得最小值，從而求得a的取值范圍是a＞1；
⑤已知函數在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方，故D正確．

解答： 解：函數f（x）=

e-x-2(x≤0) 2ax-1(x＞0)

（a是常數且a＞0）的圖象如下所示：

①由圖只需說明在點x=0處函數f（x）的最小值是-1；故正確；
②由圖象說明函函數f（x）在R上不是單調函數；故錯；
③函數f（x）在（-∞，0）的零點是ln

1

2

，故錯
④只需說明f（x）＞0在[

1

2

，+∞）上恒成立，則當x=

1

2

時，函數取得最小值，求得a的取值范圍是a＞1；故正確；
⑤已知函數函數在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應在圖象的上方，
即f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

，故正確．
故答案為：①④⑤．

點評：利用函數的圖象研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值是常用的方法，解答本題的關鍵是圖象法．