某啤酒廠為適應(yīng)市場需要,2011年起引進(jìn)葡萄酒生產(chǎn)線,同時生產(chǎn)啤酒和葡萄酒,2011年啤酒生產(chǎn)量為16000噸,葡萄酒生產(chǎn)量1000噸.該廠計劃從2012年起每年啤酒的生產(chǎn)量比上一年減少50%,葡萄酒生產(chǎn)量比上一年增加100%,試問:
(1)哪一年啤酒與葡萄酒的年生產(chǎn)量之和最低?
(2)從2011年起(包括2011年),經(jīng)過多少年葡萄酒的生產(chǎn)總量不低于該廠啤酒與葡萄酒生產(chǎn)總量之和的
23
?(生產(chǎn)總量是指各年年產(chǎn)量之和)
分析:(1)利用該廠計劃從2012年起每年啤酒的生產(chǎn)量比上一年減少50%,葡萄酒生產(chǎn)量比上一年增加100%,可得該廠第n年啤酒和葡萄酒年生產(chǎn)量,進(jìn)而可得啤酒與葡萄酒的年生產(chǎn)量之和,利用基本不等式,可求最值;
(2)利用葡萄酒的生產(chǎn)總量不低于該廠啤酒與葡萄酒生產(chǎn)總量之和的
2
3
,建立不等式,即可求得結(jié)論.
解答:解:設(shè)從2011年起,該廠第n年啤酒和葡萄酒年生產(chǎn)量分別為an噸和bn噸,經(jīng)過n年后啤酒和葡萄酒各年生產(chǎn)量的總量分別為An噸和Bn噸.
(1)設(shè)第n年啤酒和葡萄酒生產(chǎn)的年生產(chǎn)量為Dn噸,依題意,an=16000(1-50%)n-1=
32000
2n
,bn=1000(1+100%)n-1=500×2n,(n∈N*),(4分)
則Dn=an+bn=
32000
2n
+500×2n=500(
64
2n
+2n)
≥500×2
64
2n
×2n
=8000
,
當(dāng)且僅當(dāng)
64
2n
=2n
,即n=3時取等號,
故2013年啤酒和葡萄酒生產(chǎn)的年生產(chǎn)量最低,為8000噸.(7分)
(2)依題意,
Bn
An+Bn
2
3
,得Bn≥2An
An=
16000[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
=32000•
2n-1
2n
,Bn=
1000[1-2n]
1-2
=1000(2n-1)
,
∴1000(2n-1)≥32000•
2n-1
2n
×2
,
∵2n-1>0,∴2n≥64=26,∴n≥6,
從第6年起,葡萄酒各年生產(chǎn)的總量不低于啤酒各年生產(chǎn)總量與葡萄酒各年生產(chǎn)總量之和的
2
3
.(15分)
點評:本題考查數(shù)列知識的運用,考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題,考查數(shù)列的通項與求和,屬于中檔題.
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