Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-

2

3

，其前n項和S_n滿足a_n=S_n+

1

Sn

+2（n≥2），計算S₁，S₂，S₃，S₄，猜想S_n的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：a₁=-

2

3

，其前n項和S_n滿足a_n=S_n+

1

Sn

+2，令n=2，由此求出S₂．同理，求得S₃，S₄．猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，然后利用數(shù)學歸納法進行證明．

解答： 解　當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=S_n+

1

Sn

+2．
∴S_n=-

1

Sn-1+2

（n≥2）．則有：S₁=a₁=-

2

3

，S₂=-

1

S1+2

=-

3

4

，S₃=-

1

S2+2

=-

4

5

，
S₄=-

1

S3+2

=-

5

6

，由此猜想：S_n=-

n+1

n+2

（n∈N^*）．
用數(shù)學歸納法證明：
（1）當n=1時，S₁=-

2

3

=a₁，猜想成立．（2）假設n=k（k∈N^*）猜想成立，即S_k=-

k+1

k+2

成立，
那么n=k+1時，S_k+1=-

1

Sk+2

=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

k+2

k+3

=-．即n=k+1時猜想成立．
由（1）（2）可知，對任意正整數(shù)n，猜想結論均成立．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數(shù)學歸納法的合理運用．