Question

【題目】已知，函數(shù)

（1）討論的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）將函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位后得到的圖象，且為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）和是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的值并證明： 。

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)f（x）的定義域，求導(dǎo)數(shù)得f ′(x)＝，進(jìn)而通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）利用g（x）=mx﹣lnx，且x1=是函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，推出m值，利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，結(jié)合函數(shù)g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，即可證得．

試題解析：

解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，＋∞）.求導(dǎo)得f ′(x)＝m－＝.

①若m≤0，則f ′(x)<0，f(x)是（0，＋∞）上的減函數(shù)，無極值；

②若m＞0，令f ′(x)＝0，得x＝.

當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f ′(x)<0，f(x)是減函數(shù)；

當(dāng)x∈（，＋∞）時(shí)，f ′(x)>0，f(x)是增函數(shù).

所以當(dāng)x＝ 時(shí)，f(x)有極小值，極小值為f()＝2—ln＝2+lnm.

綜上所述，當(dāng)m≤0時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間為（0，＋∞），無極值；當(dāng)m＞0時(shí)，f(x)的遞增區(qū)間為（，＋∞），遞減區(qū)間為（0， ），極小值為2+lnm

（2）因?yàn)?/span>,且x1＝是函數(shù)g(x)的零點(diǎn)，

所以g()＝0，即m—＝0，解得m＝.

所以g(x)＝－lnx. 因?yàn)?/span>g(e)＝－<0，g(e)＝－>0，

所以g(e)g(e)＜0.

由（1）知，函數(shù)g(x)在（2，＋∞）上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g (x)在區(qū)間（e，e）上有唯一零點(diǎn)，

因此x2＞e，即x2＞.