分析 (I)由a2=4,b2=1,可得c=√a2−2,可得F1(−√3,0),F(xiàn)2=(√3,0).設(shè)Q(x,y),P(x0,y0).由動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足→OQ=→PF1+→PF2,可得x0=−x2,y0=-y2,代入橢圓方程即可得出.
(II)由題意可知:直線(xiàn)l的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx-2.B(x1,y1),C(x2,y2).與橢圓方程聯(lián)立化為:(1+4k2)x2-16kx+12=0,
由△>0,解得k2>34.利用根與系數(shù)的關(guān)系S△OBC=S△OAC-S△OAB=12|OA|(|x2|-|x1|)=|x2-x1|=√(x1+x2)2−4x1x2.代入換元利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答 解:(I)∵a2=4,b2=1,∴c=√a2−2=√3,∴F1(−√3,0),F(xiàn)2=(√3,0).
設(shè)Q(x,y),P(x0,y0).
∵動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足→OQ=→PF1+→PF2,
∴{x=−√3−x0+√3−x0y=−y0−y0,解得x0=−x2,y0=-y2,
代入橢圓方程可得:x216+y24=1,
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為:x216+y24=1.
(II)由題意可知:直線(xiàn)l的斜率存在,
設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx-2.B(x1,y1),C(x2,y2).
聯(lián)立{y=kx−2x24+y2=1,化為:(1+4k2)x2-16kx+12=0,
由△>0,解得k2>34.∴x1+x2=16k1+4k2,x1x2=121+4k2.
S△OBC=S△OAC-S△OAB=12|OA|(|x2|-|x1|)=|x2-x1|
=√(x1+x2)2−4x1x2=√256k2(1+4k2)2−481+4k2=4√4k2−31+4k2.
令√4k2−3=t>0,化為4k2=t2+3.∴S△OBC=4tt2+4=4t+4t≤42√t•4t=1,
當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)k=±√72.
∴(S△OBC)max=1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 無(wú)數(shù)個(gè) | D. | 不存在 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | “若m>0,則方程x2+x-m=0有實(shí)數(shù)根”的逆命題 | |
B. | “面積相等的三角形全等”的否命題 | |
C. | “若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題 | |
D. | “若A∪B=B,則A⊆B”的逆否命題 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 銳角三角形 | B. | 直角三角形 | C. | 鈍角三角形 | D. | 任意三角形 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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