Question

中心在原點，一個焦點為F₁（0，）的橢圓截直線y=3x-2所得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)焦點坐標(biāo)得出a²-b²=50，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．
解答：解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1（a＞b＞0），由F₁（0，）得a²-b²=50．
把直線方程y=3x-2代入橢圓方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
設(shè)弦的兩個端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=，
又AB的中點的橫坐標(biāo)為，∴==，
∴a²=3b²，與方程a²-b²=50聯(lián)立可解出a²=75，b²=25．
故橢圓的方程為+=1．
點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．