Question

 (12分)如圖甲,正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，先將△ABC沿CD折疊成直二面角A-DC-B（如圖乙），在乙圖中

   （Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；

   （Ⅱ）在線段BC上找一點(diǎn)P，使AP⊥DE，并求BP．

   （Ⅲ）求三棱錐D-ABC外接球的表面積．(只需用數(shù)字回答,可不寫過(guò)程)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)∵AD⊥CD,BD⊥CD,∴∠ADB是二面角A-CD-B的平角

   ∴ AD⊥BD  ∴AD⊥平面BCD,取CD的中點(diǎn)M,這時(shí)EM∥AD,∴EM⊥平面BCD

過(guò)M作MN⊥DF于點(diǎn)N,連結(jié)EN,則EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E-DF-N的平面角…………………………2分

在 Rt△EMN中,EM=AD=AB=1,

MN=∴EN=,cos∠MNE=………4分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   （2）在線段BC上取點(diǎn)P,使BP=BC=,

過(guò)P作PQ⊥CD于點(diǎn)Q,     ∴ PQ⊥平面ACD

∵DQ=DC=,在等邊△ADE中,∠DAQ=30

∴AQ⊥DE,∴AP⊥DE……………………8分

   （3）2R=   ………………12分