如圖,在四棱錐ABCD-PGFE中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱垂直于底面,AB∥DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA=1.
(Ⅰ)求PD與BC所成角的大�。�
(Ⅱ)求證:BC⊥平面PAC;
(Ⅲ)求二面角A-PC-D的大�。�

(Ⅰ)取的AB中點(diǎn)H,連接DH,易證BH∥CD,且BD=CD …(1分)
所以四邊形BHDC為平行四邊形,所以BC∥DH
所以∠PDH為PD與BC所成角…(2分)
因?yàn)樗倪呅危珹BCD為直角梯形,且∠ABC=45°,所以⊥DA⊥AB
又因?yàn)锳B=2DC=2,所以AD=1,因?yàn)镽t△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都為等腰直角三角形,
所以PD=DH=PH=,故∠PDH=60°…(4分)
(Ⅰ)連接CH,則四邊形ADCH為矩形,∴AH=DC 又AB=2,∴BH=1
在Rt△BHC中,∠ABC=45°,∴CH=BH=1,CB=∴AD=CH=1,AC=
∴AC2+BC2=AB2∴BC⊥AC…(6分) 又PA平面ABCD∴PA⊥BC …(7分)
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC …(8分)
(Ⅲ)如圖,分別以AD、AB、AP為x軸,y軸,z軸
建立空間直角坐標(biāo)系,則由題設(shè)可知:
A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),D(1,0,0),
=(0,0,1),=(1,1,-1)…(9分)
設(shè)m=(a,b,c)為平面PAC的一個(gè)法向量,則,即
設(shè)a=1,則b=-1,∴m=(1,-1,0)…(10分)
同理設(shè)n=(x,y,z) 為平面PCD的一個(gè)法向量,求得n=(1,1,1)…(11分)

所以二面角A-PC-D為60°…(12分)
分析:(1)取的AB中點(diǎn)H,易證∠PDH為PD與BC所成角,解三角形可得;
(2)由已知結(jié)合線面垂直的判定可得:
(3)坐標(biāo)法求得平面的法向量,由向量的夾角可得二面角的大�。�
點(diǎn)評(píng):本題考查立體幾何的綜合問(wèn)題,涉及線面角,線面垂直和二面角,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=DC=CB=
12
AB,E是PB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EC∥平面PAD;
(Ⅱ)求證:BD⊥平面PAD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=
π2
,且AB=BC=2AD=2,側(cè)面PAB⊥底面ABCD,△PAB是等邊三角形.
(1)求證:BD⊥PC;
(2)求二面角B-PC-D的大�。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點(diǎn)
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=
π3
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn).
(1)求三棱錐B-OCD的體積;
(2)求異面直線AB與MD所成角的余弦值;
注:若直線a⊥平面α,則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都垂直.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=
π4
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn)
(1)求三棱錐B-OCD的體積;
(2)求異面直線AB與MD所成角的大�。�
注:若直線a⊥平面α,則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都垂直.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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