Question

如圖，一張平行四邊形的硬紙片ABC₀D中，AD＝BD＝1，．沿它的對角線BD把△BDC₀折起，使點(diǎn)C₀到達(dá)平面ABC₀D外點(diǎn)C的位置．

(Ⅰ)證明：平面ABC₀D⊥平面CBC₀；

(Ⅱ)如果△ABC為等腰三角形，求二面角A―BD―C的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1520/0019/cda52ad5d6d38c415bff5af6eccd23eb/C/Image166.gif" width=12 height=18>，，所以，． 　　因?yàn)檎郫B過程中，，所以，又， 　　故平面． 　　又平面， 　　所以平面平面． 　　(Ⅱ)解法一：如圖，延長到，使，連結(jié)，． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1520/0019/cda52ad5d6d38c415bff5af6eccd23eb/C/Image185.gif" width=28 height=17>，，，， 　　所以為正方形，． 　　由于，都與平面垂直， 　　所以，可知． 　　因此只有時，△為等腰三角形． 　　在△中，，又， 　　所以△為等邊三角形，． 　　由(Ⅰ)可知，， 　　所以為二面角的平面角， 　　即二面角的大小為． 　　解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線，分別為軸正半軸和軸正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，． 　　由(Ⅰ)可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，則有．　�、� 　　因?yàn)椤?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1520/0019/cda52ad5d6d38c415bff5af6eccd23eb/C/Image224.gif" width=37 height=18>為等腰三角形，所以或． 　　若，則有． 　　由此得，，不合題意． 　　若，則有．　�、� 　　聯(lián)立①和②得，．故點(diǎn)的坐標(biāo)為． 　　由于，，所以夾角的大小等于二面角的大小． 　　又 　　所以． 　　即二面角的大小為．