已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=x3+x+1，則f（x）在R上的解析式為
f(x)=
x3+x+1，x＞0
0，x=0
x3+x-1，x＜0
f(x)=
x3+x+1，x＞0
0，x=0
x3+x-1，x＜0
．
分析：首先考慮x=0時的情況，利用奇函數(shù)的定義即可獲得函數(shù)值，然后考慮x＜0時的情況，任設(shè)x∈（-∞，0），
則-x＞0，利用已知條件：當x＞0時，f（x）=x3+x+1和函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，化簡即可獲得x＜0時的解析式．最后寫成分段函數(shù)的形式即可．
解答：解：由題意可知：
當x=0時，∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-0）=-f（0）=f（0），∴f（0=0）；
當x＜0時，任設(shè)x∈（-∞，0），則-x＞0，又因為：當x＞0時，f（x）=x3+x+1，
所以：f（-x）=（-x）3-x+1=-x3-x+1，又因為函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴-f（x）=-x3-x+1，
∴f（x）=x3+x-1．
所以函數(shù)f（x）在R上的解析式為：f(x)=
x3+x+1，x＞0
0，x=0
x3+x-1，x＜0
．
故答案為：f(x)=
x3+x+1，x＞0
0，x=0
x3+x-1，x＜0
．
點評：本題考查的是函數(shù)的奇偶性和解析式求解的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、奇函數(shù)的定義以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學們體會和反思．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設(shè)O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　�。�

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