Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2 （n為正整數）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證數列{b_n}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式，并求數列{a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用遞推關系可得n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+（

1

2

）^n-1，整理可得2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1，依題意即可證得數列{b_n}是等差數列；
（2）由（1）知b_n=n=2ⁿa_n，可求得a_n=

n

2n

，利用錯位相減法即可求得數列{a_n}的前n項和T_n．

解答： （1）證明：在S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2中，令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即a₁=

1

2

…1分
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+（

1

2

）^n-1，…3分
∴2a_n=a_n-1+（

1

2

）^n-1，…4分
即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1…5分
∵b_n=2ⁿa_n，
∴b_n-b_n-1=1（n≥2），．
又b₁=2a₁=1，
∴數列{b_n}是首項和公差均為1的等差數列…7分
（2）解：由（1）知b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴a_n=

n

2n

…9分
T_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

…11分
∴

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

…13分
∴T_n=2-

n+2

2n

…14分

點評：本題考查數列的求和，著重考查遞推關系的應用，考查等差關系的確定與錯位相減法求和的應用，屬于中檔題．