Question

定義F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函數(shù)f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C₁，曲線C₁與y軸交于點(diǎn)A（0，m），過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C₁作切線，切點(diǎn)為B（n，t）（n＞0），設(shè)曲線C₁在點(diǎn)A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值；
（Ⅱ）令函數(shù)g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C₂，若存在實(shí)數(shù)b使得曲線C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)x，y∈N^*且x＜y時(shí)，證明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

（Ⅰ）∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9，
故A（0，9），…（1分）
又過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C₁作切線，切點(diǎn)為B（n，t） （n＞0），f'（x）=2x-4．  
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

，
解得B（ 3，6 ），…（2分）
∴S=

∫

30

(x2-4x+9-2x)dx=(

x3

3

-3x2+9x)|03=9．       …（4分）
（Ⅱ）g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1，
設(shè)曲線C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）處有斜率為-8的切線，
又由題設(shè)log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在實(shí)數(shù)b使得

3x02+2ax0+b=-8      (1)    -4＜x0＜-1              (2) x03+ax02+bx0＞0     (3)

有解，…（6分）
由（1）得b=-8-3x02-2ax0，代入（3）得-2x02-ax0-8＜0，…（7分）
∴由

2x02+ax0+8＞0 -4＜x0＜-1

有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
∴a＜10．                                               …（9分）
（Ⅲ）令h(x)=

ln(1+x)

x

 ， x≥1，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，…（10分）
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，  x＞0，
∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，
∵p（x）在[0，+∞）連續(xù)∴p（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，…（12分）
∴當(dāng)x＞0時(shí)有，p（x）＜p（0）=0，
∴當(dāng)x≥1時(shí)有，h'（x）＜0，
∴h（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，…（13分）
∴1≤x＜y時(shí)，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴當(dāng)x，y∈N^*且x＜y時(shí)，F(xiàn)（x，y）＞F（y，x）．                …（14分）