Question

7．已知命題p：?x∈[1，2]，x²-a²≥0．命題q：?x∈R，使得x²+（a-1）x+1＜0．若p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：?x∈[1，2]，x²-a²≥0，可得a²≤（x²）_min．命題q：?x∈R，使得x²+（a-1）x+1＜0．可得△＞0．由p或q為真，p且q為假，p與q必然一真一假．

解答 解：命題p：?x∈[1，2]，x²-a²≥0，∴a²≤（x²）_min=1，解得-1≤a≤1．
命題q：?x∈R，使得x²+（a-1）x+1＜0．∴△=（a-1）²-4＞0，解得a＞3或a＜-1．
∵p或q為真，p且q為假，p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤1}\\{-1≤a≤3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞1}\\{a＞3或a＜-1}\end{array}\right.$，
解得-1≤a≤1，或a＜-1，或a＞3．
∴實數a的取值范圍是（-∞，1]∪（3，+∞）．

點評 本題考查了函數的性質、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．