Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，
AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA=AB=2，BC=$\frac{1}{2}$AD，E是線段AB中點．
（1）求證：PE⊥CD；
（2）求三棱錐P-CDE的表面積．

Answer 1

分析 （1）證明AD⊥PE，PE⊥AB．即可證明PE⊥平面ABCD．然后證明PE⊥CD．
（2）求出三棱錐的棱長，各個面的面積，然后求解三棱錐P-CDE的表面積．

解答 證明：（1）因為AD⊥側(cè)面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．…（2分）
又因為△PAB是等邊三角形，E是線段AB的中點，
所以PE⊥AB．          …（3分）
因為AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．               …（4分）．
因為AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．
而CD?平面ABCD，
所以PE⊥CD…．（6分）
解：（2）由（1）可知PE⊥底面ABCD，PE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
EC=$\sqrt{2}$，ED=$\sqrt{1+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．CD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2+3}$=$\sqrt{5}$，
PD=$\sqrt{P{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{3+5}$=$2\sqrt{2}$．
S_△CDE=$\frac{1+2}{2}×2$-$\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×2×1$=$\frac{3}{2}$，
S_△CDP=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5-2}$=$\sqrt{6}$．
S_△CPE=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
S_△PDE=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
三棱錐P-CDE的表面積：$\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\sqrt{6}+\frac{{\sqrt{15}}}{2}$…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，三棱錐的表面積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．