Question

已知函數f（x）=m+

2

2x+1

是奇函數．
（1）求m的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）判斷f（x）的單調性．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）可以利用函數f（x）的奇偶性定義，得到參數m的值；
（2）將原函數進行變形，再利用指數函數的值域，求出原函數的值域；
（3）利用導數小于0，即可確定函數的單調性

解答： 解：（1）f（-x）=-f（x）⇒m+

2

2-x+1

=-m-

2

2x+1

故2m=-

2

2-x+1

-

2

2x+1

=-2，∴m=-1；
（2）f（x）=

2

2x+1

-1，
因為2^x+1＞1，
所以0＜

2

2x+1

＜2，∴-1＜

2

2x+1

＜1，
所以f（x）的值域是（-1，1）；
（3）f （x）是R上的減函數，證明如下：
∵m=-1，∴f（x）=

2

2x+1

-1，
∴f′（x）=-

(2ln2)•2x

(2x+1)2

＜0
∴f （x）是R上的減函數．

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性及其應用，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．