精英家教網(wǎng)如圖，在四面體A-BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F分別為BD，AB的中點，MN∥平面ABD．
（1）求證：平面ABD⊥平面EFC；
（2）如圖，求證：直線MN∥直線GH．
分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得CE⊥BD，再利用面面垂直的性質(zhì)可得CE⊥平面ABD，利用面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）利用三角形的中位線定理可得EF∥AD，再利用線面平行的性質(zhì)及MN∥平面ABD，可得MN∥EF，利用平行線的傳遞性可得MN∥AD，利用線面平行的判定定理可得MN∥平面ACD，再利用線面平行的性質(zhì)即可得出MN∥GH．
解答：證明：（1）∵CB=CD，E為BD的中點，∴CE⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴CE⊥平面ABD，
∵CE?平面EFC，∴平面ABD⊥平面EFC；
（2）∵點E、F分別為BD，AB的中點，∴EF∥AD．
∵MN∥平面ABD，平面CEF∩平面ABD=EF，
∴MN∥EF，
∴MN∥AD，
而MN?平面ACD，AD?平面ACD，
∴MN∥平面ACD，
∵平面BMN∩平面ACD=GH，
∴MN∥GH．
點評：本題綜合考查了線面平行和垂直的判定定理與性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定理、三角形的中位線定理等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四面體ABCD中，平面EFGH分別平行于棱CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形．
（2）設
DEDB
=λ(0＜λ＜1)，問λ為何值時，四邊形EFGH的面積最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•許昌三模）如圖，在四面體ABCD中，二面角A-CD-B的平面角為60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，點E、F分別是AD、BC的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•許昌三模）如圖，在四面體ABCD中，二面角A-CD-B的平面角為60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，點E、F分別是AD、BC的中點．
（Ⅰ）求作平面α，使EF?α，且AC∥平面α，BD∥平面α；
（Ⅱ）求證：EF⊥平面BCD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在四面體ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA，DB，DC兩兩互相垂直，點O是△ABC的中心，將△DAO繞直線DO旋轉(zhuǎn)一周，則在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DA與BC所成角的余弦值的取值范圍是（　　）
A、[0， 
6
3
]
B、[0， 
3
2
]
C、[0， 
2
2
]
D、[0， 
3
3
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)給出以下判斷：
（1）b=0是函數(shù)f（x）=ax2+bx+c為偶函數(shù)的充要條件；
（2）橢圓
x2
4
+
y2
3
=1中，以點（1，1）為中點的弦所在直線方程為x+2y-3=0；
（3）回歸直線
y
=
b
x+
a
 必過點(
.
x
，
.
y
)；
（4）如圖，在四面體ABCD中，設E為△BCD的重心，則
AE
=
AB
+
1
2
AC
+
2
3
AD
；
（5）雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1( a＞0 ， b＞0 )的兩焦點為F1，F(xiàn)2，P為右支是異于右頂點的任一點，△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為T，則點T的橫坐標為a．其中正確命題的序號是
 
．

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