Question

已知橢圓：經(jīng)過如下五個點中的三個點：，，，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點為橢圓的左頂點，為橢圓上不同于點的兩點，若原點在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為和關(guān)于原點對稱，由橢圓的對稱性可知和在橢圓上。因為在橢圓上則和不在橢圓上。所以在橢圓上。解方程組可得的值。（Ⅱ）需討論哪個角為直角只討論和即可，因為點的位置沒有固定，和的情況相同。如當(dāng)時，設(shè)直線，聯(lián)立方程消去消去得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。根據(jù)，則直線垂直其斜率相乘等于，列式計算可得，則說明原點在的外部，符合條件，否則不符合條件舍掉。在求面積時若采用先求弦再求點到的距離最后求面積的方法計算過于繁瑣，所以求的面積時可用分割法，計算較簡單。

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由知，和不在橢圓上，即橢圓經(jīng)過，，.

于是.

所以 橢圓的方程為：. 2分

（Ⅱ）①當(dāng)時，設(shè)直線，由得

.設(shè)，則，

所以

.

于是，此時，所以 直線.

因為，故線段與軸相交于，即原點在線段的延長線上，即原點在的外部，符合題設(shè). 6分

所以

.

當(dāng)時取到最大值. 9分

②當(dāng)時，不妨設(shè).

設(shè)直線，由得.

所以 或.

所以，由，可得直線.

由得.

所以.

所以線段與軸相交于.

顯然原點在線段上，即原點在的內(nèi)部，不符合題設(shè).

綜上所述，所求的面積的最大值為. 12分

考點：1、橢圓的對稱性和方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系問題；3、三角形面積的求法。