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13.已知數列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)在拋物線y=$\frac{3}{2}$x2+$\frac{1}{2}$x上,各項都為正數的等比數列{bn}滿足b2=$\frac{1}{4}$,b4=$\frac{1}{16}$.
(Ⅰ)求數列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)記Cn=a${\;}_{{a}_{n}}$+b${\;}_{{a}_{n}}$,求數列{Cn}的前n項和Tn

分析 (I)由${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$,推導出a1=S1=2,an=Sn-Sn-1=3n-1.由各項都為正數的等比數列{bn}滿足$_{2}=\frac{1}{4}$,$_{4}=\frac{1}{16}$,求出首項和公比,由此能求出數列{an},{bn}的通項公式.
(Ⅱ) 先求出Cn=9n-4+($\frac{1}{2}$)3n-1,由此利用分組求和法能求出數列{Cn}的前n項和Tn

解答 解:(I)${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$,當n=1時,a1=S1=2,
當n≥2時,Sn-1=$\frac{3}{2}$(n-1)2+$\frac{1}{2}$(n-1)=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n+1$,
∴an=Sn-Sn-1=3n-1.
∴數列{an}是首項為2,公差為3的等差數列,
∴an=3n-1.…(3分)
又各項都為正數的等比數列{bn}滿足$_{2}=\frac{1}{4}$,$_{4}=\frac{1}{16}$,
解得$_{1}=\frac{1}{2},q=\frac{1}{2}$,∴bn=($\frac{1}{2}$)n.…(6分)
(Ⅱ)∵${a}_{n}=2n-1,_{n}=(\frac{1}{2})^{n}$,
∴Cn=a${\;}_{{a}_{n}}$+b${\;}_{{a}_{n}}$=a3n-1+b3n-1
=3(3n-1)-1+($\frac{1}{2}$)3n-1
=9n-4+($\frac{1}{2}$)3n-1,
∴數列{Cn}的前n項和:
Tn=9(1+2+3+…+n)-4n+2×($\frac{1}{8}$)n
=9×$\frac{n(1+n)}{2}$-4n+2×$\frac{\frac{1}{8}(1-\frac{1}{{8}^{n}})}{1-\frac{1}{8}}$
=$\frac{n(9n+1)}{2}$-$\frac{2}{7}×\frac{1}{{8}^{n}}$+$\frac{2}{7}$.…(12分)

點評 本題考查數列的通項公式、前n項和公式的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意等差數列、等比數列的性質和分組求和法的合理運用.

練習冊系列答案
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