Question

13．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）在拋物線y=$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x上，各項都為正數的等比數列{b_n}滿足b₂=$\frac{1}{4}$，b₄=$\frac{1}{16}$．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記C_n=a${\;}_{{a}_{n}}$+b${\;}_{{a}_{n}}$，求數列{C_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，推導出a₁=S₁=2，a_n=S_n-S_n-1=3n-1．由各項都為正數的等比數列{b_n}滿足$_{2}=\frac{1}{4}$，$_{4}=\frac{1}{16}$，求出首項和公比，由此能求出數列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（Ⅱ） 先求出C_n=9n-4+（$\frac{1}{2}$）^3n-1，由此利用分組求和法能求出數列{C_n}的前n項和T_n．

解答 解：（I）${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，S_n-1=$\frac{3}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n+1$，
∴a_n=S_n-S_n-1=3n-1．
∴數列{a_n}是首項為2，公差為3的等差數列，
∴a_n=3n-1．…（3分）
又各項都為正數的等比數列{b_n}滿足$_{2}=\frac{1}{4}$，$_{4}=\frac{1}{16}$，
解得$_{1}=\frac{1}{2}，q=\frac{1}{2}$，∴b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）∵${a}_{n}=2n-1，_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴C_n=a${\;}_{{a}_{n}}$+b${\;}_{{a}_{n}}$=a_3n-1+b_3n-1
=3（3n-1）-1+（$\frac{1}{2}$）^3n-1
=9n-4+（$\frac{1}{2}$）^3n-1，
∴數列{C_n}的前n項和：
T_n=9（1+2+3+…+n）-4n+2×（$\frac{1}{8}$）ⁿ
=9×$\frac{n（1+n）}{2}$-4n+2×$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{8}^{n}}）}{1-\frac{1}{8}}$
=$\frac{n（9n+1）}{2}$-$\frac{2}{7}×\frac{1}{{8}^{n}}$+$\frac{2}{7}$．…（12分）

點評 本題考查數列的通項公式、前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的性質和分組求和法的合理運用．