Question

已知三棱錐的頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面三角形的垂心，求證底面內(nèi)任一頂點(diǎn)在其相對(duì)側(cè)面內(nèi)的射影也是此側(cè)面三角形的垂心．

Answer 1

答案：
解析：

證明 如圖，在三棱錐P－ABC中，P在底面內(nèi)的射影O為△ABC的垂心，AO、CO分別交BC、AB于D、E． 由O為△ABC的垂心，知AO⊥BC． 由三垂線定理，可得BC⊥PA． 由BC⊥平面PAD，知BC⊥PD． ，知平面PAD⊥平面PBC，PD為兩平面交線． 作AH⊥PD于H，則AH⊥平面PBC，即H為A在平面PBC內(nèi)的射影． 由AH⊥平面PBC，，知AH⊥PC． 由三垂線定理，可知PC⊥AB，AB∩AH=A， 故PC⊥平面ABH，BH平面ABH．所以PC⊥BH， 由PH⊥BC，BH⊥PC，知H為△PBC的垂心． 同理可證B、C在其相對(duì)側(cè)面內(nèi)的射影也是側(cè)面三角形PAC、PAB的垂心． 注意，復(fù)習(xí)、鞏固上一單元的基礎(chǔ)知識(shí)，也是學(xué)習(xí)本單元的目的之一．