Question

如圖，已知點A（0，-3），動點P滿足|PA|=2|PO|，其中O為坐標原點，動點P的軌跡為曲線C，過原點O作兩條直線分別l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x交曲線C 于點E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，
y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）。

（1）求證：；
（2）對于（1）中的E、F、G、H，設EH交x軸于點Q，GF交x軸于點R。求證：|OQ|=|OR|。（證明過程不考慮EH或GF垂直于x軸的情形）

Answer 1

（1）證明：設點P（x，y），
依題意，可得，
整理，得，
故動點P的軌跡方程為，
將直線EF的方程，代入圓C方程，
整理得，
根據(jù)根與系數(shù)的關系，得，，，……①
將直線GH的方程，代入圓C方程，
同理可得，，，……②
由①、②可得，所以結論成立。
（2）證明：設點，點，
由E、Q、H三點共線，得，解得，
由F、R、G三點共線， 同理可得，
由，

，
即，
。