Question

3．若函數(shù)f（x）=x-2sinxcosx+acosx在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [-3，+∞）
• B． （-∞，-3]
• C． [$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-∞，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用導函數(shù)的性質(zhì)求解原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x-2sinxcosx+acosx
那么：f′（x）=1-2cos2x-asinx
∵f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]單調(diào)遞增，即f′（x）=1-2cos2x-asinx≥0，
sinx在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上恒大于0，
可得：a≤$\frac{1-2cos2x}{sinx}$
令y=$\frac{1-2cos2x}{sinx}$=$\frac{1-2（1-2si{n}^{2}x）}{sinx}$=$\frac{4si{n}^{2}x-1}{sinx}$=$4sinx-\frac{1}{sinx}$
可得：y=$4t-\frac{1}{t}$，（t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]）
∴當t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，y取得最小值為：2$\sqrt{2}-\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$
故得$a≤\sqrt{2}$
故選D

點評 本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性的運用，利用導函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)性是解決本題的關鍵．