Question

21世紀(jì)我國將全面實(shí)現(xiàn)小康社會(huì)，家庭理財(cái)將成為增加居民收入新亮點(diǎn)，某投資機(jī)構(gòu)根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元（如圖）．已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）

（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益與投資的函數(shù)關(guān)系；
（2）若你家現(xiàn)有20萬元資金，全部用于投資理財(cái)，問：請你根據(jù)所學(xué)知識幫助你的父母來合理分配資金獲得最大收益，并計(jì)算最大收益為多少萬元？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意，設(shè)f（x）=kx，g（x）=a

x

，由圖可求出k，a，從而得到函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元，則y=f（x）+g（20-x）=

1

8

x+

1

2

•

20-x

，（0≤x≤20），利用換元法求函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=kx，g（x）=a

x

，
由題意得，f（1）=k=

1

8

，g（1）=a=

1

2

，
則f（x）=

1

8

x，（x≥0）；g（x）=

1

2

x

，（x≥0）．
（2）設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬元，則股票類投資為20-x萬元，
由題意得，y=f（x）+g（20-x）
=

1

8

x+

1

2

•

20-x

，（0≤x≤20），
令

20-x

=t，
則y=-

1

8

（t²-20）+

1

2

t=-

1

8

（t-2）²+3，
故當(dāng)t=2，即x=16萬元時(shí)，收益最大，
此時(shí)，y_max=3萬元．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及函數(shù)的最值及解析式的求法，屬于中檔題．