在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
6
3
，且橢圓C上的點到原點的距離的最大值為
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若動點P滿足
OP
=
OM
+3
ON
，其中M、N是橢圓上不同兩點，直線OM、ON的斜率之積為-
1
3
，求動點P的軌跡方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用離心率e=
6
3
，且橢圓C上的點到原點的距離的最大值為
3
，建立方程，求出b，即可求橢圓C的方程；
（2）利用
OP
=
OM
+3
ON
，所以x=x1+3x2，y=y1+3y2，結(jié)合OM、ON的斜率之積為-
1
3
，即可求動點P的軌跡方程．
解答： 解：（1）根據(jù)題意知a=
3
，
1-
b2
a2
=
6
3
，
所以，b2=1，
故所求橢圓方程為
x2
3
+y2=1
（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），動點P（x，y），
因為M、N在橢圓上，
所以x1+3y12=3，x2+3y22=3，
又
OP
=
OM
+3
ON
，
所以x=x1+3x2，y=y1+3y2
則x2+3y2=(x1+3x2)2+3(y1+3y2)2=x12+3y12+9x22+27y22+6x1x2+18y1y2
=30+6x1x2+18y1y2
，
因為OM、ON的斜率之積為-
1
3
，
所以
y1
x1
•
y2
x2
=-
1
3
，
即x1x2+3y1y2=0，
所以動點P的軌跡方程為x2+3y2=30．
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查標準方程，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定橢圓的標準方程是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題P：函數(shù)f（x）=（2a-5）x是R上的減函數(shù)．命題Q：在x∈R時，不等式x2-ax+2＞0恒成立．若命題“P∪Q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右焦點為B（1，0），右準線與x軸的交點為A（5，0），過點A作直線l交橢圓C于兩個不同的點P、Q．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l斜率的取值范圍；
（3）是否存在直線l，使得|BP|=|BQ|，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax3-
3
2
（a+2）x2+6x+b在x=2處取得極值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[1，4]時，不等式f（x）＞b2恒成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ln（x+
1+x2
），
（Ⅰ）判斷并證明函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)y=f（x）在R上的單調(diào)性；
（Ⅲ）當x∈[1，2]時，不等式f（a•4x）+f（2x+1）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求下列函數(shù)的導數(shù)：
（1）y=2x3+log2x；
（2）y=
cosx
sinx
+2x．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+ax2+bx（a，b∈R）．
（1）若曲線C：y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），曲線C在點P處的切線與直線x+2y-14=0垂直，求a，b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個不同的極值點，求證：0＜a+b＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=ex-x，g（x）=asinx+b，g（x）在（
π
6
，g（
π
6
））處的切線方程為6
3
x-12y+18-
3
π=0
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅱ）求g（x）的解析式；
（Ⅲ）當x≥0時，g（x）≤mex恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)f（x）=a（x-5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6），則a=
 
．

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