Question

【題目】設(shè){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列,記cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).

(Ⅰ)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并證明{cn}是等差數(shù)列;

(Ⅱ)證明:或者對(duì)任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)n≥m時(shí), >M;或者存在正整數(shù)m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】 (Ⅰ) 見(jiàn)解析;(Ⅱ) 見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)讀懂新定義{cn}的含義,即可求得{cn}的通項(xiàng)公式;

(Ⅱ)結(jié)合新定義,通過(guò)對(duì)d1的分類(lèi)討論,進(jìn)而證明.

試題解析：

(Ⅰ)c1=b1-a1=1-1=0,

c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,

c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=.

當(dāng)n≥3時(shí),

(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0,

所以bk-nak關(guān)于k∈N*單調(diào)遞減.

所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n.

所以對(duì)任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1,

所以{cn}是等差數(shù)列.

(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1,d2,則

bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n

=b1-a1n+(d2-nd1)(k-1).

所以cn=

①當(dāng)d1>0時(shí),

取正整數(shù)m>,則當(dāng)n≥m時(shí),nd1>d2,因此cn=b1-a1n.

此時(shí),cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列.

②當(dāng)d1=0時(shí),對(duì)任意n≥1,

cn=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).

此時(shí),c1,c2,c3,…,cn,…是等差數(shù)列.

③當(dāng)d1<0時(shí),

當(dāng)n>時(shí),有nd1<d2.

所以

=n(-d1)+d1-a1+d2+

≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.

對(duì)任意正數(shù)M,取正整數(shù)m>max{,},

故當(dāng)n≥m時(shí), >M.