Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BB₁=BC=1，E為D₁C₁的中點，連接ED，EC，EB和DB．
（Ⅰ）求證：平面EDB⊥平面EBC；
（Ⅱ）A₁C₁和BD₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在矩形C₁D₁DC中，根據(jù)勾股定理及其逆定理算出DE⊥EC，再由線面垂直的性質(zhì)得到DE⊥BC，從而得到DE⊥平面EBC，結(jié)合面面垂直判定定理即可證出平面EDB⊥平面EBC；
（II）連接AC交DB于O點，取DD₁的中點F，連接OF．根據(jù)平行四邊形和三角形中位線定理，可得∠AOF（或其補角）就是異面直線A₁C₁和BD₁所成的角．利用三角形中位線定理和勾股定理，分別算出AF=AO=

5

2

，OF=

6

2

，最后根據(jù)余弦定理算出cos∠FOA，即得A₁C₁和BD₁所成的角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵Rt△D₁DE中，DD₁=D₁E=1
∴DE=

DD12+D1E2

=

2

，同理可得CE=

2

，
∵DC=2，∴DE²+CE²=4=DC²，可得DE⊥EC
又∵BC⊥平面CC₁D₁D，DE?平面CC₁D₁D，∴DE⊥BC，
∵BC、CE是平面EBC內(nèi)的相交直線，∴DE⊥平面EBC，
又∵DE?平面EDB，∴平面EDB⊥平面EBC-----------------------（6分）
（Ⅱ）連接AC，交DB于O點，取DD₁的中點F，連接OF，
∵△BDD₁中，O、F分別是BD、DD₁的中點，∴OF∥BD₁，
又∵AC∥A₁C₁，∴∠AOF（或其補角）就是異面直線A₁C₁和BD₁所成的角，----（8分）
Rt△ADF中，AF=

AD2+DF2

=

5

2

，矩形ABCD中，AO=

1

2

AC=

1

2

AB2+BC2

=

5

2

∵長方體的對角線BD₁=

22+12+12

=

6

，∴OF=

1

2

BD₁=

6

2

，----（10分）
∴△AOF中，由余弦定理，得
cos∠FOA=

3 2 + 5 4 - 5 4

2× 6 2 × 5 2

=

30

10

．…（12分）

點評：本題給出特殊長方體，求證面面垂直并求異面直線所成的角，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，異面直線所成角的定義及其求法等知識，屬于基礎題．