Question

2．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x|x-2|．若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0（a，b∈R）恰有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，2）
• B． （-2，0）
• C． （1，2）
• D． （-2，-1）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f（x）的解析式，令t=f（x），將方程轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，由根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)x＜0，則-x＞0，滿足表達(dá)式f（x）=x|x-2|．
∴f（-x）=-x|-x-2|=-x|x+2|，
又∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
∴f（x）=-x|x+2|，
故當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x|x+2|．
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x|x-2|，x≥0}\\{-x|x+2|，x＜0}\end{array}\right.$，
作出f（x）的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），
由圖象知，當(dāng)t＞1時(shí)，t=f（x）有兩個(gè)根，
當(dāng)t=1時(shí)，t=f（x）有四個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，t=f（x）有六兩個(gè)根，
當(dāng)t=0時(shí)，t=f（x）有三個(gè)根，
當(dāng)t＜0時(shí)，t=f（x）有0個(gè)根，
則方程[f（x）]²+af（x）+b=0等價(jià)為t²+at+b=0，
若方程[f（x）]²+af（x）+b=0（a∈R）恰好有1個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
等價(jià)為方程t²+at+b=0有兩不同的根，
且0＜t₁＜1，t₂=1，
則t₁+t₂=-a，
即1＜t₁+t₂＜2，
則1＜-a＜2，
即-2＜a＜-1，
則a的取值范圍為（-2，-1），
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運(yùn)用，主要考查方程與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．