Question

在等差數(shù)列{a_n}中，滿足2a₄＝5a7，且a₁＞0，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S_n取最大值，求n的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　要解決此題的關(guān)鍵，應(yīng)先根據(jù)條件求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)，求使Sn最大時(shí)n的值． 　　解法1　　∵等差數(shù)列{an}中，2a4＝5a7 　　∴2(a1＋3d)＝5(a1＋6d)， 　　∴d＝－a1 　　又∵a1＞0，∴d＜0 　　∴等差數(shù)列{an}是遞減數(shù)列， 　　∴若使Sn最大，只需解an≥0時(shí)n的值即可 　　∴an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×(－)≥0 　　又∵a1＞0，∴n≤9，即a8＞0，a9＝0 　　∴{an}的前9項(xiàng)均大于等于零，從第10項(xiàng)開始每一項(xiàng)均為負(fù)值． 　　∴使Sn最大時(shí)n的值為8或9． 　　解法2　　同解法1得d＝－ 　　∴Sn＝na1＋d 　　＝－n2＋a1n 　�。剑�(n2－17n) 　　＝－(n－)2＋× 　　又∵a1＞0 　　∴要使Sn取最大值，只需令n＝8或n＝9即可． 　　即S8＝S9取得最大值(見下圖)． 　　評(píng)析　　公差不為零的等差數(shù)列． 　　1．通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)為an＝kn＋b，所以我們有當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，Sn有最大值；當(dāng)a1＜1且d＞0時(shí)，Sn有最小值． 　　2．前n項(xiàng)求和公式的結(jié)構(gòu)Sn＝an2＋bn，當(dāng)d＞0時(shí)為開口向上的拋物線；當(dāng)d＜0時(shí)為開口向下的拋物線，利用拋物線的性質(zhì)并結(jié)合函數(shù)圖象可使問題更加直觀，揭示了問題的實(shí)質(zhì)．