Question

11．f（x）是集合A到集合B的一個函數(shù)，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n∈N^*，則f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)的個數(shù)是（　�。�

• A． $A_{2n}^n$
• B． n²ⁿ
• C． （2n）ⁿ
• D． ${C}_{2n}^{n}$

Answer 1

分析 所有的從集合A到集合B的函數(shù)f（x）總共有（2n）ⁿ 個，每從B的2n元素中選取n個元素的一個組合，就對應了一個增函數(shù)f（x），故單調(diào)遞增函數(shù)f（x）的個數(shù)為C_2nⁿ，即可得出結(jié)論．

解答 解：所有的從集合A到集合B的函數(shù)f（x）總共有（2n）ⁿ 個，從1，2，…，2n中任意取出n個數(shù)，唯一對應了一個從小到大的排列順序，這n個從小到大的數(shù)就可作為A中元素1，2，…，n的對應函數(shù)值，這個函數(shù)就是一個增函數(shù)．
每從B的2n元素中選取n個元素的一個組合，就對應了一個增函數(shù)f（x），
故單調(diào)遞增函數(shù)f（x）的個數(shù)為C_2nⁿ，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素，單調(diào)增函數(shù)的定義，求出調(diào)遞增函數(shù)f（x）的個數(shù)為C_2nⁿ，是解題的關(guān)鍵．