Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右準線方程為x=4，右頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，斜率為2的直線l經(jīng)過點A，且點F到直線l的距離為

2 5

5

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點P，當B，F(xiàn)，P三點共線時，試確定直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知，直線l的方程為y=2（x-a），即2x-y-2a=0，利用點到直線的距離公式可得：右焦點F到直線l的距離為

|2c-2a|

5

=

2 5

5

，化為a-c=1，又橢圓C的右準線為x=4，即

a2

c

=4，及其a²=c²+b²，解出即可．
（2）方法一：由（1）知B(0，

3

)，F(xiàn)（1，0），直線BF的方程為y=-

3

(x-1)，與橢圓方程聯(lián)立可得P，即可得出k_PA；
方法二：由（1）知B(0，

3

)，F(xiàn)（1，0），直線BF的方程為y=-

3

(x-1)，由題A（2，0），顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），聯(lián)立直線得出交點代入橢圓方程即可得出．
方法三：由題A（2，0），顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），與橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用B，F(xiàn)，P三點共線k_BP=k_BF，解出即可．

解答： 解：（1）由題意知，直線l的方程為y=2（x-a），即2x-y-2a=0，
∴右焦點F到直線l的距離為

|2c-2a|

5

=

2 5

5

，
∴a-c=1，
又橢圓C的右準線為x=4，即

a2

c

=4，
∴c=

a2

4

，將此代入上式解得a=2，c=1，
∴b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）方法一：由（1）知B(0，

3

)，F(xiàn)（1，0），
∴直線BF的方程為y=-

3

(x-1)，
聯(lián)立方程組

y=- 3 (x-1) x2 4 + y2 3 =1

，解得

x= 8 5 y=- 3 3 5

或

x=0 y= 3

（舍），即P(

8

5

，-

3 3

5

)，
∴直線l的斜率k=

0-(- 3 3 5 )

2- 8 5

=

3 3

2

．
方法二：由（1）知B(0，

3

)，F(xiàn)（1，0），
∴直線BF的方程為y=-

3

(x-1)，由題A（2，0），顯然直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），聯(lián)立方程組

y=- 3 (x-1) y=k(x-2)

，
解得

x= 2k+ 3 k+ 3 y= - 3 k k+ 3

，
代入橢圓解得：k=

3 3

2

或k=-

3

2

，
又由題意知，y=

- 3 k

k+ 3

＜0得k＞0或k＜-

3

，
∴k=

3 3

2

．
方法三：由題A（2，0），顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
聯(lián)立方程組

y=k(x-2) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-12=0，xA+xP=

16k2

4k2+3

，
∴xP=

16k2

4k2+3

-2=

8k2-6

4k2+3

，yP=

-12k

4k2+3

，
當B，F(xiàn)，P三點共線時有，k_BP=k_BF，
即

-12k 4k2+3 - 3

8k2-6 4k2+3

=

- 3

1

，解得k=

3 3

2

或k=-

3

2

，
又由題意知，y=

- 3 k

k+ 3

＜0得k＞0或k＜-

3

，
∴k=

3 3

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、三點共線，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．