Question

某同學做了一個數(shù)字信號模擬傳送器，經(jīng)過10個環(huán)節(jié)，把由數(shù)字0，1構(gòu)成的數(shù)字信號由發(fā)生端傳到接受端．已知每一個環(huán)節(jié)會把1錯轉(zhuǎn)為0的概率為0.3，把0錯轉(zhuǎn)為1的概率為0.2，若發(fā)出的數(shù)字信號中共有10000個1，5000個0．問：
（1）從第1個環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)出的信號中0，1各有多少個？
（2）最終接受端收到的信號中0，1個數(shù)各是多少？（精確到十位）
（3）該同學為了完善自己的儀器，決定在接受端前加一個修正器，把得到的1和0分別以一定的概率轉(zhuǎn)換為0和1，則概率分別等于多少時，才能在理論上保證最終接受到的0和1的個數(shù)與發(fā)出的信號同．

Answer 1

分析：（1）由于每一個環(huán)節(jié)會把1錯轉(zhuǎn)為0的概率為0.3，把0錯轉(zhuǎn)為1的概率為0.2，
則從第1個環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)出的信號中，0與1的個數(shù)為發(fā)對的與發(fā)錯的個數(shù)和；
（2）數(shù)字錯轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移矩陣為A，設矩陣A的特征多項式為：f（λ）=λ²-1.5λ+0.5=（λ-1）（λ-0.5）
令f（λ）=0，得到A的特征值，將得到的值代入方程組

(λ-0.7)x-0.2y=0 -0.3x+(λ-0.8)y=0

，于是得到矩陣A的特征向量
又設

10000 5000

=m

2 3

+n

1 -1

，解得m，n，所以計算出A¹⁰

10000 5000

即可；
（3）設修正器的轉(zhuǎn)移矩陣為B=

1-s t s 1-t

（0＜s＜1，0＜t＜1），則由題意得到6s-9t+4=0，可取s=

1

2

，t=

7

9

，也就是說1轉(zhuǎn)為0的概率為

1

2

，0轉(zhuǎn)為1的概率為

7

9

．

解答：解：（1）從第1個環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)出的信號中，0的個數(shù)為：
10000×0.3+5000×0.8=7000（個）
1的個數(shù)為：10000×0.7+5000×0.2=8000（個）
（2）數(shù)字錯轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移矩陣為A=

0.7 0.2 0.3 0.8

，1和0的個數(shù)對應列矩陣

10000 5000

，
于是最終接受端收到的信號中1，0個數(shù)對應矩陣A¹⁰

10000 5000

，
矩陣A的特征多項式為：f(λ)=

.

λ-0.7 -0.2 -0.3 λ-0.8

.

=λ²-1.5λ+0.5=（λ-1）（λ-0.5）
令f（λ）=0，得到A的特征值為1或0.5，將1代入方程組

(λ-0.7)x-0.2y=0 -0.3x+(λ-0.8)y=0

解得3x-2y=0，不妨設x=2，于是得到矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量為

2 3

．
同理，把λ=0.5代入上述方程組得x+y=0，不妨設x=1，可得矩陣A的屬于特征值0.5的一個特征向量為

1 -1

．
又設

10000 5000

=m

2 3

+n

1 -1

，于是

10000=2m+n 5000=3m-n

，求得

m=3000 n=4000

，
所以A¹⁰

10000 5000

=3000•1¹⁰

2 3

+4000•0.5¹⁰

1 -1

=

6000+4000•0.510 9000-4000•0.510

≈

6000 9000

于是，最終接受端收到的信號中0約有9000個，1約有6000個
（3）設修正器的轉(zhuǎn)移矩陣為B=

1-s t s 1-t

（0＜s＜1，0＜t＜1），則由題意有

1-s t s 1-t

•

6000 9000

=

10000 5000

于是得到6s-9t+4=0∵0＜s＜1，0＜t＜1
∴可取s=

1

2

，t=

7

9

也就是說1轉(zhuǎn)為0的概率為

1

2

，0轉(zhuǎn)為1的概率為

7

9

．
注：第（3）問答案不惟一，只要滿足方程6s-9t+4=0 （0＜s＜1，0＜t＜1）的s，t均可．

點評：本題主要考查了矩陣特征值的計算與逆變換與逆矩陣以及幾種特殊的矩陣變換等知識，屬于中檔題．