Question

10．已知a＜-1，函數(shù)f（x）=$\sqrt{（{x}^{3}-1）^{2}}$+x³+ax（x∈R），求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 當(dāng)x≤1時，f（x）=1+ax，從而判斷出為減函數(shù)；當(dāng)x＞1，化簡f（x）=2x³+ax-1，從而求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求最小值．

解答 解：當(dāng)x≤1時，
f（x）=$\sqrt{（{x}^{3}-1）^{2}}$+x³+ax
=1-x³+x³+ax=1+ax，
故f（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞1，
故f（x）=$\sqrt{（{x}^{3}-1）^{2}}$+x³+ax=x³-1+x³+ax=2x³+ax-1，
f′（x）=6x²+a=6（x+$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）（x-$\sqrt{\frac{-a}{6}}$），
當(dāng)-6≤a＜-1時，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$≤1；
故f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
故f_min（x）=f（1）=1+a；
當(dāng)a＜-6時，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$＞1，
故f（x）在（1，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$]上是減函數(shù)，在（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$，+∞）上是增函數(shù)；
故f_min（x）=f（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）=$\frac{2}{3}$a$\sqrt{\frac{-a}{6}}$+1．

點評 本題考查了分類討論的思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．