Question

（2013•山東）橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，離心率為

3

2

，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF₁，PF₂，設∠F₁PF₂的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，若k≠0，試證明

1

kk1

+

1

kk2

為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析：（1）把-c代入橢圓方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

，由已知過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，可得

2b2

a

=1．再利用e=

c

a

=

3

2

，及a²=b²+c²即可得出；
（2）設|PF₁|=t，|PF₂|=n，由角平分線的性質可得

t

n

=

|MF1|

|F2M|

=

m+ 3

3 -m

，利用橢圓的定義可得t+n=2a=4，消去t得到

4-n

n

=

3 +m

3 -m

，化為n=

2( 3 -m)

3

，再根據(jù)a-c＜n＜a+c，即可得到m的取值范圍；
（3）設P（x₀，y₀），不妨設y₀＞0，由橢圓方程

x2

4

+y2=1，取y=

1- x2 4

，利用導數(shù)即可得到切線的斜率，再利用斜率計算公式即可得到k₁，k₂，代入即可證明結論．

解答：解：（1）把-c代入橢圓方程得

c2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

，
∵過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1，∴

2b2

a

=1．
又e=

c

a

=

3

2

，聯(lián)立得

2b2 a =1 a2=b2+c2 c a = 3 2

解得

a=2，b=1 c= 3

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）如圖所示，設|PF₁|=t，|PF₂|=n，
由角平分線的性質可得

t

n

=

|MF1|

|F2M|

=

m+ 3

3 -m

，
又t+n=2a=4，消去t得到

4-n

n

=

3 +m

3 -m

，化為n=

2( 3 -m)

3

，
∵a-c＜n＜a+c，即2-

3

＜n＜2+

3

，也即2-

3

＜

2( 3 -m)

3

＜2+

3

，解得-

3

2

＜m＜

3

2

．
∴m的取值范圍；(-

3

2

，

3

2

)．
（3）證明：設P（x₀，y₀），
不妨設y₀＞0，由橢圓方程

x2

4

+y2=1，
取y=

1- x2 4

，則y′=

- 2x 4

2 1- x2 4

=-

x

4 1- x2 4

，
∴k=kl=-

x0

4 1- x 2 0 4

=-

x0

4y0

．
∵k1=

y0

x0+ 3

，k2=

y0

x0- 3

，
∴

1

k1

+

1

k2

=

2x0

y0

，
∴

1

kk1

+

1

kk2

=-

4y0

x0

×

2x0

y0

=-8為定值．

點評：本題綜合考查了橢圓的定義、標準方程及其性質、角平分線的性質、利用導數(shù)的幾何意義研究切線、斜率計算公式等基礎知識，考查了推理能力、分類討論的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．