Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3a|x-1|，
（1）當(dāng)a=1時，試判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）在[0，+∞）內(nèi)的最小值．

Answer 1

分析：（1）通過舉反例說明當(dāng)a=1時，f（x）非奇非偶．
（2）利用絕對值的意義分段討論去掉絕對值符號將f（x）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)；分別通過導(dǎo)數(shù)求兩段的最小值；比較兩段的最小值，挑出最小值為f（x）d的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x³-3|x-1|，（2分）
此時f（1）=1，f（-1）=-7，f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），∴f（x）是非奇非偶函數(shù)．（5分）
（2）當(dāng)0≤x＜1時，f（x）=x³-3a（1-x）=x³+3ax-3a，
當(dāng)x≥1時，f（x）=x³-3a（x-1）=x³-3ax+3a
∴f(x)=

x3+3ax-3a  (0≤x＜1)&  x3-3ax+3a  (x≥1)&

，（7分）
（i）當(dāng)0≤x＜1時，f'（x）=3x²+3a，由于a＞0，故f'（x）＞0，∴f（x）在[0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，此時[f（x）]_min=f（0）=-3a（9分）
（ii）當(dāng)x≥1時，f′(x)=3x2-3a=3(x2-a)=3(x-

a

)(x+

a

)，
令f'（x）=0，可得兩極值點x=-

a

或x=

a

，
①若0＜a≤1，則

a

≤1，可得f（x）在[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
結(jié)合（i）、（ii）可得此時[f（x）]_min=f（0）=-3a（11分）
②若a＞1，則

a

＞1，可得f（x）在[1，

a

)內(nèi)單調(diào)遞減，(

a

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f（x）在[1，+∞）內(nèi)有極小值f(

a

)=(

a

)3-3a

a

+3a=-2a

a

+3a，
此時[f(x)]min=min{f(0)，f(

a

)}
而f(

a

)-f(0)=-2a

a

+3a-(-3a)=-2a

a

+6a=-2a(

a

-3)
可得1＜a≤9時，f(

a

)≥f(0)，a＞9時，f(

a

)＜f(0)（14分）
∴綜合①②可得，當(dāng)0＜a≤9時，[f（x）]_min=f（0）=-3a，
當(dāng)a＞9時，[f(x)]min=f(

a

)=-2a

a

+3a（15分）

點評：本題考查通過舉反例說明一個命題不成立的方法、考查通過絕對值的意義去絕對值符號、考查分段函數(shù)的最值分段求，比較出各段的最值、考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．