已知數(shù)列{an}滿足a1=
2
5
,且對任意n∈N*,都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2

(Ⅰ)求證:數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列;
(Ⅱ)令bn=
2
3
1
an
+5),求數(shù)列{
bn
3n
}前n項和Tn
考點:數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由已知條件推導出2an-2an+1=3anan+1,從而
1
an+1
-
1
an
=
3
2
,由此能證明{
1
an
}是首項為
5
2
,公差為
3
2
的等差數(shù)列.
(Ⅱ)由
1
an
=
3n+2
2
,得an=
2
3n+2
,從而bn=n+4,
bn
3n
=
n+4
3n
,由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{
bn
3n
}前n項和Tn
解答: (Ⅰ)證明:∵數(shù)列{an}滿足a1=
2
5
,且對任意n∈N*,都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
,
∴anan+1+2an=4anan+1+2an+1,
∴2an-2an+1=3anan+1
1
an+1
-
1
an
=
3
2
,
∴{
1
an
}是首項為
5
2
,公差為
3
2
的等差數(shù)列.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得數(shù)列{
1
an
}的通項公式為:
1
an
=
5
2
+(n-1)×
3
2
=
3n+2
2
,
an=
2
3n+2
,∴bn=
2
3
1
an
+5)=n+4,
bn
3n
=
n+4
3n
,
∴Tn=
5
3
+
6
32
+
7
33
+…+
n+4
3n
,①
1
3
Tn=
5
32
+
6
33
+
7
34
+…+
n+4
3n+1
,②
①-②,
2
3
Tn
=
5
3
+
1
32
+
1
33
+
1
34
+…+
1
3n
-
n+4
3n+1

=
5
3
+
1
9
(1-
1
3n-1
)
1-
1
3
-
n+4
3n+1

=2-
n+7
3n+1
,
∴Tn=3-
n+7
2•3n
點評:本題考查等差數(shù)列的證明,考查數(shù)列的前n項和的求法,解題時要認真審題,注意錯位相減法的合理運用.
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2
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x
4
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6
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